Définitions
Séries de Fourier
Spectre de Fourier
Pour passer à la transformer de Fourier, on fait tendre la période vers l'infini des séries de Fourier.
On rend la fonction périodique en fonction non périodique.
\(\triangleright\) Définition de la transformée de Fourier
Soit une fonction \(f(x)\).
La transformée de Fourier de \(f(x)\) est:
$$\tilde f(x)={{\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx} dx}}$$
\(\triangleright\) Définition de la transformée de Fourier inverse
Soit une fonction \(f(x)\).
La transformée de Fourier inverse qui permet de retrouver \(f(x)\) est:
$$f(x)={{\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}\tilde f(x)e^{ikx} dk}}$$
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés de la transformée de Fourier
La transformée de Fourier est:- Linéarité
- Si \(TF\left[f(x)\right]=\tilde f(k)\implies TF\left[f(ax)\right]={{\frac{1}{|a|}\tilde f(\frac ka) }}\quad; a\neq 0\)
Cela signifie que la contraction dans l'espace entraine la dilatation dans l'espace réciproque.- \(TF[f(x-x_0)]={{TF[f(x)]e^{-ikx_0} }}\)
- \(TF[f(-x)]={{\tilde f(-k)}}\)
- Si \(f\) est réelle, alors \(\tilde f(-k)={{\tilde f^*(k)}}\)
- \(TF[\frac{df}{dx}]={{ik*TF[f(x)]}}\) demo
START
Exo-Démo+
Montrer que Si \(TF\left[f(x)\right]=\tilde f(k)\implies TF\left[f(ax)\right]={{\frac{1}{|a|}\tilde f(\frac ka) }}\quad; a\neq 0\)
\(\tilde{f}(k)=\frac{1}{\sqrt {2\pi} } \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{ikx}dx\)
1i:
2:
END
Théorèmes
Théorème de Parseval
Fonction de Dirac
Delta de Dirac
